1-1. تعاريف: نسم ي 2-1. أمثلة: بحيث r على النحو التالي: لنأخذ X = Z ولنعرف عليها الدالة 2. عدد طبيعي فردي و α عدد صحيح موجب. وسنضع: =

Transcript

1 أوال : الفضاءات المتري ة ) Spaces ( Metric 1-1. تعاريف: لتكن X مجموعة غير خالية ولتكن: + R d X X دالة حقيقي ة بمتغيرين. (x, y) d(x, y) نسمي d نصف مسافة )شبه مسافة ( على X إذا حق قت الشروط التالية أيا كانت,x,y z من X: 1. d(x, y) = d(y, x) 0, 2. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), 3. d(x, x) = 0 نسم ي d مسافة )متركا ( على X إذا حق قت إضافة للشروط السابقة الشرط: 4. d(x, y) = 0 ; x = y x, y X d فوق مسافة ( ultra - مسافة( على X إذا حققت إضافة للشروط السابقة الشرط: 5. d(x, y) max(d(x, z), d(z, y)) x, y, z X فضاء نصف متري إذا كانت d نصف مسافة على X ونسميها فضاء متريا إذا كانت d نسم ي الثنائية (d,x) على X ونسميها فضاء فوق متري Space( )Ultrametric إذا كانت d فوق مسافة على X. نسم ي مسافة وهكذا نالحظ أن كل فضاء فوق متري هو فضاء متري وكل فضاء متري هو فضاء نص ف متري. ولكنها 2-1. أمثلة: لنأخذ X = Q ولنأخذ 2 d(x, y) = x 2 y فنالحظ أ ن d نصف مسافة على ( X بر ر( ليست مسافة عليها فلو أخذنا أي عنصرين متناظرين مثل x =,a y = a بحيث 0 a لوجدنا أن = 0 y) d(x, ولكن.x y أي أن الشرط 4 غير محقق لنأخذ X = Q ولنأخذ y d(x, y) = x فنالحظ أ ن d نصف مسافة على X )بر ر( إ ل أن ها ليست فوق مسافة على X فلو أخذنا مثال = 3 z x =,1 y =,4 لوجدنا أن : d(x, y) = 3 max(d(x, z), d(z, y)) = 2 وأيضا مسافة عليها أي أن الشرط 5 غير محقق لنأخذ X = Q ولنعرف عليها مسافة d بالشكل التالي: x, y X d(x, y) = { 1 x y 0 x = y فنالحظ أن d فوق مسافة على X )بر ر( فهي مسافة وتسم ى المسافة المتقط عة على X. لنأخذ X = Z ولنعرف عليها الدالة 2. على النحو التالي: Z R + x x 2 = 2 α x = r. 2 α بحيث r عدد طبيعي فردي و α عدد صحيح موجب. وسنضع: =

2 مثال: أوجد 16 2, = = 2 1 = 1 2 إن 2. فوق مسافة على.Z أي أن : 4 = = = 16 d 2 (x, y) = x y 2 = 2 α x y = r. 2 α, x, y Z فوق مسافة على Z فهي مسافة. لحظ أن : Z. d 2 (x, x) = 0 x لنأخذ X = Q ولنعر ف الدال ة 2. على النحو التالي:. 2 Q R + x x 2 = 2 α x = r s. 2α بحيث مثال: أوجد,r s عددان طبيعيان فرديان أوليان فيما بينهما و α عدد صحيح موجب. وسنضع = = = 2 0 = = , = = = 2 0 = 1 2 فوق مسافة على Q. أي أن : d 2 (x, y) = x y 2 = 2 α x y = r s. 2α, x, y Q x Q ; x 3 = 3 α x = r s. 3α إن 2. فوق مسافة على Q فهي مسافة. مالحظة: من أجل = 3 p نعرف الدالة 3. كما يلي: بحيث,r s عددان طبيعيان أوليان فيما بينهما و كل منهما ل يقبل القسمة على 3. وباألسلوب نفسه نعرف المسافة ألجل بقية األعداد األولية p. (Q, d p ) p مالحظة: من أجل أي عدد أولي يكون الفضاء فضاء فوق متري )وغير تام( تذكرة: ليكن (d,x) فضاء متريا و > 0 r عددا حقيقيا و a X عندئذ نسم ي المجموعة:.)N(a, r) وقد يرمز لها أيضا (.r ونصف قطرها a كرة مفتوحة مركزها B(a, r) = {x X d(x, a) < r} ونسمي المجموعة } r B (a, r) = {x X d(x, a) كرة مغلقة مركزها a ونصف قطرها.r أما المجموعة r} S(a, r) = {x X d(x, a) = فنسم يها كر ة ( أو قشرة كروي ة ) مركزها a ونصف قطرها.r مجموعة مفتوحة ونسم ي كل مجموع ة يمكن أن تكتب اتحا د على شكل لك ارت مفتوحة مجموعة مغلقة ونسم ي كل مجموعة متممتها مجموعة مفتوحة. 2

3 4-1. تمرين هام: أثبت أن y 2 d 2,x) (y = x مسافة فوق مترية على Z. وأن ك ل كرة مفتوحة في الفضاء فوق المتري ) 2,Z) d تقبل مرك از لها أية نقطة من نقاطها كما أنها ستكون مجموع ة مفتوحة ومغلقة في آن معا. توجيه: ي ساعدك في إثبات ذلك أن تثبت صحة الخواص التالية: z 2 = 0 z = 0, z. z 2 = z 2. z 2, z + z 2 max( z 2, z 2 ) والعالقة األخيرة تصبح مساواة عندما 2 z. z 2 فو ق في فضا ء مفتوح ة ك ل كر ة نتيجة هامة: متري تكون مجموع ة مفتوحة ومغلقة في آن معا وتقبل أية نقطة من نقاطها مرك از لها مبرهنة هامة: 1. إن أية مجموعة مغلقة في فضاء متري هي تقاطع لمتتالية متناقصة من المجموعات المفتوحة. 2. إن أية مجموعة مفتوحة في فضاء متري هي اتحاد لمتتالية مت ازيدة من المجموعات المغلقة..6-1 الفضاء المتري التام: space( )Complete metric فضاء نقول عن فضاء متري إن ه أمثلة: تام إذا كانت كل متتالية لكوشي من عناصره متقاربة فيه. 1. الفضاء (d,q) فضاء غير تام حي ث d هي مقصور المسافة المألوفة على R على Q. 2. الفضاء (d,r) فضاء تام..3 الفضاء ) d (C[a, b], فضاء تام حيث : d (f, g) = sup f(x) g(x), f, g C[a, b] a x b بينما الفضاء ) 1,[0,1]C) d غير تام حيث : )بر ر ذلك(. 1 d 1 (f, g) = f(x) g(x) 0. dx x [0,1], f, g C[0,1] ( استفد من معلوماتك في التحليل الدالي )1( ) مالحظة: كل فضاء متري غير تام ي مكن إتمامه. فمتمم الفضاء Q هو الفضاء R ومتمم الفضاء ) 1,[0,1]C) d هو الفضاء [b L 1,a] فضاء الدوال الكمولة لوبيغي ا..7-1 ليكن d) (X, مبرهنة بير Theorem( :)Baire في X. عندئذ فإن : فضاء متري ا تام ا ولتكن 1 n O} n } متتالية من المجموعات الجزئية من X والتي كل منها مفتوحة وكثيفة O n كثيفة في X. )أثبت صحة هذه المبرهنة(. n 1 تذك ر أن نا نقول عن مجموعة O من فضاء متري (d,x) إن ها كثيفة في X إذا كان تقاطع O مفتوحة )أساسية( في X وغير خالية ليس خاليا. ( وهذا ي كافئ أ ن O = X بر ر ذلك(. مع أية مجموعة 3

4 8-1. تتمات وتمارين: )بعد نقطة عن مجموعة(: ليكن (d,x) فضاء متريا و X a و B مجموعة جزئية من X نعر ف البعد بين النقطة a والمجموعة B كما يلي: d(a, B) = inf {d(a, b) b B} x 1 D احسب = y 2 = z a = (1,2,3) X = R 3 و B مجموعة نقاط المستقيم: تطبيق) 1 (: خ ذ.d(a, B) تطبيق) 2 (: خ ذ a = (0,1) X = R 2 و A مجموعة نقاط الدائرة: = 1 2 C (x 1) 2 + y احسب (A.d(a, ث م كيف ن نشئ مماسا للدائرة السابقة C من النقطة a وما هو طول هذا المماس )المسافة بين مجموعتين(: ليكن (d,x) فضاء متريا ولتكن,A B مجموعتين جزئيتين من X نعر ف المسافة بين هاتين المجموعتين كما يلي: d(a, B) = inf {d(a, b) a A, b B} تطبيق: لتكن A مجموعة نقاط المستقيم المار من النقطة (0,1) = a والموازي لمنص ف الربع األول و B هي مجموعة احسب B).d(A, نقاط الدائرة = 1 2 C (x 1) 2 + y )قطر مجموعة(: ليكن (d,x) فضاء متريا ولتكن A مجموعة جزئية من X وغير خالية عندئذ نعر ف قطر المجموعة A بأن ه: δ(a) = sup {d(x, y) x, y A} x 2 تطبيق: ما هو قطر القطع الناقص: b2 = 1 a > b )المجموعة المحدودة(: a 2 + y2 ليكن (d,x) فضاء متريا ولتكن A مجموعة جزئية غير خالية منه نقول عن A إن ها محدودة في الفضاء (d,x) كان <.δ(a) وهذا يكافئ أن A ستكون محتواة في كرة مفتوحة. تمرين: أثبت أن : B).δ(A B) δ(a) + δ(b) + d(a, ماذا تستنتج حيث,A B مجموعات جزئية محدودة من فضاء متري (d,x). إذا ق م بحل جميع التمارين السابقة واثبات ما ورد من مبرهنات. ابحث في اإلنترنت عن ( metric space, ultrametric space انظر ويكيبيديا.) 4

5 الت ارص ثانيا : )compactness( 1-2. تمهيد: التغطية التغطية المفتوحة ( Cover :) Cover, Open مجموعة غير خالية و O} α } α L جماعة من أج ازئها نقول عن هذه الجماعة إن ها تغطية للمجموعة الجزئية K لتكن X.K α L من X إذا تحقق: O α τ ثم إذا كانت X مزودة بط بولوجيا فسنقول عن تغطية إن ها تغطية مفتوحة إذا كان كل عنصر من عناصر هذه التغطية مجموعة مفتوحة التغطية المنتهية ( Cover :) Finite إذا كانت O} α } α L تغطية لمجموعة K فسنقول إن ه يمكن استخ ارج تغطية جزئية منتهية منها إذا تحقق اآلتي: α 1, α 2,, α n L K O α1 O α2 O αn = n O αi i= خاصية التقاطع المنتهي ( Property :) Finite Intersection مجموعة غير خالية و F} α } α L جماعة من أج ازئها نقول عن هذه الجماعة إن ها تتمتع بخاصية التقاطع لتكن X.L المنتهي ( أو إن ها جماعة متمركزة ) إذا كان تقاطع أية جماعة جزئية منتهية منها ليس خاليا أي إذا تحقق اآلتي: α F وذلك أيا كانت α من α 1, α 2,, α n L F α1 F α2 F αn = F αi n i=1 وينتج عن ذلك أن ه إذا كانت F} α } α L جماعة متمت عة بخاصي ة التقاطع المنتهي فإن الجماعة {O a } a X تغطية للمجموعة X. O a جوا ار ل a إن و أمثلة: 1. ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا و a نقطة من X.2 لتكن R مجموعة األعداد الحقيقية إن الجماعة Q} {B p = [p, p + 1] p تغطية للمجموعة R والجماعة Z} {B n = [n, n + 1] n تغطية جزئية منها..A تشكل تغطية مفتوحة للمجموعة {G n = ] 1.3 لنأخذ المجال ]0,1[ = A إن الجماعة [} 1, n+2 n n N 4. لنأخذ الصف التالي من المجموعات المفتوحة في R: A = {]0,1[, ]0, 1 2 [, ]0, 1 3 [, } = {A n = ]0, 1 [ n N} n إن A الصف يتمت ع بخاصية التقاطع المنتهي ألن : a 1, a 2,, a m N ]0, a 1 [ ]0, a 2 [ ]0, a m [ = ]0, b[ حيث أن : 0 > } m.b = min{a 1, a 2,, a وبالتالي ألية جماعة جزئية منتهية تقاطع غير خال. 5

6 .2-2 الفضاء المت ارص ( Space :) Compact تعريف الفضاء المت ارص: ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا نقول عن هذا الفضاء إن ه مت ارص إذا تحقق أحد الشروط اآلتية المتكافئة: 1. من أية تغطية مفتوحة للمجموعة X يمكن استخ ارج تغطية جزئية منتهية للمجموعة X. 2. من أية شبكة ( متتالية معممة ) من عناصر X يمكن استخ ارج شبكة فرعية متقاربة. 3. ألية شبكة ( متتالية معممة ) من عناصر X قيمة مالصقة. 4. كل مرش حة أعظمية في الفضاء (τ,x) لها قيمة مالصقة. 5. ألية جماعة من المجموعات المغلقة في X X جماعة من المجموعات المغلقة في F} α } α L تعريف المجموعة المت ارص ة: والمتمت عة بخاصية التقاطع المنتهي تقاطع غير خال. ( أي أن ه إذا كانت تتمتع بخاصية التقاطع المنتهي فإن :.) F α α L ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا ولتكن A مجموعة جزئية غير خالية من X نقول عن المجموعة A إن ها مت ارصة إذا كان الفضاء ) A,A) τ مت ارص ا. الحظ أن الشرط الالزم والكافي لكي تكون الجماعة {O α } α L A هو أن تكون الجماعة من المجموعات المفتوحة في X تغطية مفتوحة للمجموعة {A O α } α L من المجموعات المفتوحة في A تغطية مفتوحة للفضاء ) A,A). τ ماذا تستنتج إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا متو ار فإن كل مجموعة مت ارصة تكون مغلقة ومحدودة. م إن عك س هذه المبرهنة ليس صحيحا بالضرورة والمبرهنة الهامة التالية تق د الشر ط الالزم والكافي حتى يكون العكس صحيحا مبرهنة هاين بوريل ( Borel :) Heine الشرط الالزم والكافي لكي تكون مجموعة ما في فضاء منظ م منتهي البعد مت ارصة هو أن تكون مغلقة ومحدودة فيه. K R n الحظ أن الفضاء R n حيث : 1 n هو فضاء منظم منتهي األبعاد وعليه تكون المجموعة إذا مت ارص ة وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة. نتيجة: كل مجال مغلق ومحدود في R مثل [b,a] يكون مجموعة مت ارص ة. (X, τ) أمثلة: 1. لتكن X مجموعة غير خالية ولنزودها بالط بولوجيا المتقطعة P(X) τ = إذا كانت X منتهية فإن الفضاء يكون مت ارص ا ذلك أن أية مجموعة منتهية تكون مت ارص ة. أما إذا كانت X غير منتهية فإن الفضاء (τ,x) لن مثال X ل {{a} a X} يكون مت ارص ا ألن التغطية المفتوحة ل يمكن أن ي ستخرج منها أية تغطية جزئية منتهية ل X. مجموعة غير خالية ولنزودها بالط بولوجيا التافهة {,X} τ = عندئذ يكون الفضاء (τ,x) مت ارص ا ألن.2 لتكن X أية تغطية مفتوحة ل X ل ب د أن تكون من الشكل {X} وهي تغطية منتهية بحد ذاتها. 6

7 .3 لتكن X مجموعة غير منتهية ولنزودها بط بولوجيا المتممات المنتهية:{ < A τ = { } {A X X حيث نقصد ب A X ع د ة المجموعة X A فنجد أن الفضاء الناتج (τ,x) فضاء مت ارص إذ أن ه لو كانت O α0 أية تغطية مفتوحة للمجموعة X وأخذنا أي عنصر من هذه التغطية مختلف عن فإن وليكن {O α } α L x 1, x 2, x 3,, x n X نقاط O α0 المجموعة الجزئية تحوي جميع باستثناء عدد منته منها ولتكن هذه النقاط هي: {O α } α L لما كانت تغطية مفتوحة للمجموعة X فإن كل نقطة من X تنتمي إلى واحد على األقل من عناصر هذه {O α } α L O α1, O α2, O α3,, O αn التغطية وبالتالي ثم ة عناصر: من التغطية بحيث تكون: لذا فإن : وهكذا فإن الجماعة: x 1 O α1, x 2 O α2, x 3 O α3,, x n O αn X = O α0 O α1 O α2 O α3 O αn {O α0, O α1, O α2, O α3,, O αn } تغطية جزئية منتهية من التغطية المفتوحة الكيفية O} α وبذلك نجد أن الفضاء (τ,x) فضاء مت ارص بالفعل. } α L (R, τ cf τ cf فنجد أن الفضاء الناتج ) 4. لنأخذ مجموعة األعداد الحقيقية R مزو دة بط بولوجيا المتممات المنتهية A إن المجموعة A = ]0,1[ فضاء.5 مت ارص با لستناد للمثال السابق. لنأخذ مجموعة األعداد الحقيقية R مزو دة بالط بولوجيا المألوفة ولتكن ليست مت ارص ة مثال A { ] 1 n,1[ n 1} في هذا الفضاء وذلك ألن ها ليست مغلقة.) أو بمالحظة أن الجماعة تغطية ل أية ولكن.) جماعة جزئية منتهية منها ليست تغطية ل A إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا وكانت K} i } 1 i n جماعة منتهية من المجموعات المت ارصة في X فإن اتحاد هذه المجموعات أي: n K i i=1 هو مجموعة مت ارصة في X أيضا. إن كون الفضاء الط بولوجي مت ارصا ل يعني بالضرورة أن المجموعات الجزئية منه ستكون مت ارصة أي أن الفضاء الط بولوجي ل ي ور ث المجموعات الجزئية منه صفة الت ارص ولتحقق ذلك ينبغي توف ر شرط م عي ن تبينه لنا المبرهنة التالية K إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا مت ارصا وكانت K مجموعة جزئية مغلقة في X فإن مجموعة مت ارصة. وينتج عن ذلك أن كل فضاء جزئي مغلق من فضاء مت ارص ل بد أن يكون مت ارصا إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا هاوسدورفيا و F مجموعة مغلقة فيه وكانت K مجموعة مت ارصة فإن F K مت ارص ة ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا عندئذ فإن الشرط الالزم والكافي لكي تكون مجموعة B جزئية من X ومحتواة في X. مت ارصة في B مجموعة A X مت ارصة في A هو أن تكون 7

8 للتطبيقات المستمرة بين فضاءين ط بولوجيين خواص هام ة إذ نقول عن تطبيق بين فضاءين ط بولوجيين إن ه م ستمر إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة في المستقر مجموعة مفتوحة في المنطلق. ( وي كافئ ذلك أن تكون الصورة.)) العكسية لكل مجموعة مغلقة في المستقر مجموعة مغلقة في المنطلق ( بر ر ذلك وحول ا لستم ارر والت ارص سنقد م المبرهنتين التاليتين: f(x) فإن (Y, τ ) (X, τ) إذا كان f تطبيقا مستم ار للفضاء المت ارص في الفضاء الط بولوجي مجموعة جزئية في الفضاء مت ارص ة ) τ,y). الصورة المباشرة ألية مجموعة مت ارصة وفق تطبي ق مستمر هي مجموعة مت ارصة نتيجة: (X, τ) إذا كان f تطبيقا مستم ار للفضاء المت ارص في الفضاء الحقيقي المألوف R فإن ه محدود ويبل غ حد يه األعلى واألدنى..3-2 الفضاءات المت ارص ة موضعيا ( Spaces :) Locally Compact تعريف: ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا هاوسدورفيا نقول عن هذا الفضاء إن ه مت ارص موضعيا إذا تحقق أحد الشرطين اآلتيين المتكافئين: 1. لكل نقطة x من X قاعدة جوا ارت مت ارص ة أي أن : x X, V v x ; W v x x W W V مت ارصة 2. لكل نقطة x من X جوار مت ارص أو لكل نقطة x من X جوار لصاقته مت ارص ة. هذا ويقال عن مجموعة جزئية A من X إن ها مت ارص ة موضعيا إذا كان الفضاء الجزئي ) A,A) τ مت ارص ا موضعيا. إن كل فضا ء مالحظة: هاوسدورفي ومت ارص هو فضاء مت ارص موضعيا إ ل أن العكس ليس صحيحا في الحالة العامة أمثلة: 1. لنأخذ مجموعة األعداد الحقيقية R مزو دة بالط بولوجيا المألوفة ي الحظ أن الفضاء الناتج غير مت ارص لكن ه مت ارص موضعيا واليك التفاصيل: الجماعة Z} ]n, n + 2[ n { تغطية مفتوحة للمجموعة R ولكن أية جماعة جزئية منتهية من هذه التغطية ل تشكل تغطية ل X وبالتالي الفضاء المدروس ليس مت ارص ا. ولكن ه مت ارص موضعيا إذ أن ه أيا كانت النقطة x من R فإن المجال المفتوح 1[ + x ]x 1, جوار للنقطة x لصاقته هي المجال المغلق والمحدود 1] + x [x 1, والذي هو مت ارص ( حسب هاين بوريل (. 8

9 4-2. الت ارص ومسل مات الفصل:.T كل فضاء ط بولوجي هاوسدورفي ومت ارص هو فضاء.T كل فضاء ط بولوجي هاوسدورفي ومت ارص هو فضاء - تذك ر أن فضاء T 2 - الفضاء الط بولوجي (τ,x) ي دعى: )هاوسدورفي( إذا تحقق الشرط: x, y X x y ; O x, O y τ x O x, y O y and O x O y = F فضاء T 3 إذا تحقق الشرط: X, x X x F ; O F, O x τ F O F, x O x and O F O x = مغلقة A, B فضاء T 4 إذا تحقق الشرط: - X A, B, A B = ; O A, O B τ A O A, B O B and O A O B = مغلقتين 5-2. بعض أنماط الت ارص وفضاءات ليندليوف: الت ارص عد ا ( Compactness :) countable ي قال عن فضاء ط بولوجي (τ,x) إن ه مت ارص عد ا إذا حوت كل تغطية مفتوحة وقابلة للعد ل X تغطية جزئية منتهية. كل فضاء مت ارص هو مت ارص عد ا. والعكس ليس صحيحا في الحالة العامة الت ارص بالتوالي )متتالياتيا ( ( Compactness :) Sequential ي قال عن فضاء ط بولوجي (τ,x) إن ه مت ارص بالتوالي إذا حوت كل متتالية من عناصر X متتالية فرعية متقاربة. كل فضاء مت ارص بالتوالي هو مت ارص عد ا. والعكس ليس صحيحا في الحالة العامة فضاء ليندليوف ( Space :) Lindelof ليكن τ) (X, فضاء ط بولوجيا نقول عن (τ,x) إن ه فضاء ليندليوف إذا حوت كل تغطية مفتوحة ل X تغطية قابلة للعد. τ نتيجة: كل فضاء ط بولوجي يتمتع بقابلية العد الثانية هو فضاء ليندليوف. C 2 تذك ر أن ه ي قال عن فضاء ط بولوجي (τ,x) إن ه يتمتع بقابلية العد الثانية إذا امتلكت قاعدة قابلة للعد. كل فضاء ط بولوجي مت ارص هو فضاء ليندليوف. عكس المبرهنة السابقة غير صحيح في الحالة العامة والمثال التالي يبين لنا ذلك: لنأخذ الفضاء الط بولوجي الحقيقي المألوف (τ,r) ولتكن ]0,1[ = A لما كان الفضاء (τ,r) متمتعا بقابلية العد الثانية كان الفضاء الجزئي ) A,A) τ كذلك ومن ثم فإن هذا الفضاء الجزئي فضاء ليندليوف. ولكن هذا الفضاء غير مت ارص إذ إن التغطية 1} n 1[, { ] 1 n+1 تغطية مفتوحة ل A و أية تغطية جزئية منها لن تكون منتهية. 9

10 أمثلة: 1. لنأخذ الفضاء الط بولوجي السابق إن المجموعة [0,1] = A مت ارصة بالتوالي في هذا الفضاء ذلك أن كل متتالية من عناصر هذه المجموعة تتقارب من الواحد لذا فإن كل متتالية فرعية من أية متتالية من عناصر المجموعة A ل ب د وأن تكون متقاربة. 2. كل مجموعة منتهية في فضاء ط بولوجي تكون مت ارص ة بالتوالي رص الفضاءات الط بولوجية: )Compactification( كل فضاء ط بولوجي مت ارص موضعي ا ي مك ن رص ه وتفاصيل ذلك فيما يلي: تعريف خطير: ي قال عن فضاء ط بولوجي مت ارص (S,Y) إن ه رص لفضاء ط بولوجي (τ,x) إذا وجد هوميومورفيزم ( تصاكل ) بين الفضاء (τ,x) وفضاء جزئي كثيف من الفضاء (S,Y). ويتم في الغالب رص الفضاء (τ,x) بإضافة نقطة أو نقطتين أو أكثر إلى X ثم بتزويد المجموعة الموسعة Y بط بولوجيا S بحيث يغدو الفضاء الموس ع (S,Y) مت ارص ا ويكون الفضاء (τ,x) فضاء جزئيا كثيفا فيه رص الكسندروف ( Compactification :)Alexandroff ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا هاوسدورفيا مت ارصا موضعيا وغير مت ارص وليكن شيئا ما غير منتم إلى X. لنشك ل X ولتكن الجماعة المجموعة: X { } = 1. عناصر τ. τ من أج ازء X مؤل فة من المجموعات التالية:.(X, τ) X في المتممات للمجموعات الجزئية المت ارصة في الفضاء.2 X بأكملها. 3. المجموعة (X, τ) (X, τ ) X τ عندئذ تكون ط بولوجيا على ويكون الفضاء فضاء هاوسدورفيا ومت ارصا ويحوي الفضاء كفضاء جزئي كثيف فيه. )Ideal point( نسم ي هذا الفضاء رص الكسندروف أو رص ا وحيد النقطة ل X ونسمي النقطة المثالية أو النقطة في الالنهاية infinity(.)point at أثبت صحة جميع المبرهنات والنتائج السابقة. ( استفد من االنترنت ) هات لمحة عن العالم الكسندروف. 11

11 الت اربط ثالثا : )connectedness(.1-3 الفضاء المت اربط ( space :)connected تعريف: ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجي ا نقول عن هذا الفضاء إن ه م ت اربط إذا تحقق أحد الشروط اآلتية المتكافئة: 1. ل توجد تجزئة للمجموعة X مؤلفة من مجموعتين مفتوحتين. أي: O 1, O 2 τ O 1, O 2, O 1 O 2 = X, O 1 O 2 = 2. ل توجد تجزئة للمجموعة X مؤلفة من مجموعتين مغلقتين. أي: F 1, F 2 C F 1, F 2, F 1 F 2 = X, F 1 F 2 = ( حيث نعني ب C جماعة المجموعات المغلقة في الفضاء (τ,x) (. 3. المجموعتان الوحيدتان المفتوحتان والمغلقتان في آن معا في الفضاء (τ,x) هما,X فقط. و جبهتها ليست خالية. أي: Fr(A) A X A ; 4. كل مجموعة جزئية من X ومختلفة عن X τ D حي ث ثابتا. يكون {0,1} = D و هي الط بولوجيا المتقط عة..5 كل تطبيق مستمر( f (X, τ) (D, τ D تعريف المجموعة المت اربطة: A ليكن τ) (X, فضاء ط بولوجيا ولتكن A مجموعة جزئية غير خالية من X نقول عن المجموعة إن ها متر ابطة إذا كان الفضاء ) A (A, τ مت اربطا. تعريف آخر للمجموعة المت اربطة: ي قال عن مجموعة H من فضاء ط بولوجي (τ,x) إن ها مت اربطة إذا تحقق ما يلي: O 1, O 2 τ O 1, O 2 ; O 1 H, O 2 H, O 1 O 2 H =, H O 1 O أمثلة: 1. أي فضاء ط بولوجي مؤلف من نقطة وحيدة هو فضاء مت اربط. أية مجموعة غير خالية ولنزو دها بالط بولوجيا المتقطعة P(X) τ = إذا كانت X مؤلفة من عنصر وحيد.2 لتكن X فإن الفضاء (τ,x) يكون مت اربطا. أما إذا كانت X مؤلفة من أكثر من عنصر فإن الفضاء (τ,x) لن يكون مت اربطا ذلك أن المجموعة {a} مثال حيث a X مجموعة مفتوحة ومغلقة في آن معا وذلك ألن : {a}., X {a} τ وي الحظ أن أية مجموعة جزئية من X مؤلفة من أكثر من عنصر لن تكون مت اربطة ذلك أن الط بولوجيا النسبي ة عليها ستكون هي الط بولوجيا المتقطعة. أية مجموعة غير خالية ولنزو دها بالط بولوجيا التافهة عندئذ يكون الفضاء (τ,x) مت اربطا τ = {X, }.3 لتكن X ذلك أن المجموعتين المفتوحتين والمغلقتين في آن معا هما,X بالط بولوجيا النسبي ة عليها ستكون مت اربطة. فقط. وي الحظ أن أية مجموعة جزئية من X مزودة 11

12 .4 لتكن X مجموعة غير منتهية ولنزودها بط بولوجيا المتممات المنتهية: } < A τ = { } {A X X حيث نقصد ب A X ع د ة المجموعة X A عندئذ يكون الفضاء (τ,x) مت اربطا وذلك لعدم وجود أية مجموعتين مفتوحتين غير متقاطعتين. وي الحظ هنا أن أية مجموعة جزئية غير خالية من X ومنتهية لن تكون مت اربطة ألن الط بولوجيا النسبية عليها هي الط بولوجيا المتقطعة أما المجموعات الجزئية من X وغير المنتهية فستكون مت اربطة ألن الط بولوجيا النسبية عليها هي ط بولوجيا المتممات المنتهية. ولنزودها بالط بولوجيا المألوفة إن مجموعة األعداد الطبيعية N غير مت اربطة في R إذ لو أخذنا.5 لنأخذ X = R المجموعتين المفتوحتين: O 1 = ], 3 4 [, O 2 = ] 1 2, [ لوجدنا أن : O 1 N = {0}, O 2 N = N, O 1 O 2 N =, O 1 O 2 = R N وبالتالي N ليست مت اربطة. وباألسلوب نفسه نجد أن مجموعة األعداد العادية Q غير مت اربطة في R ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا ولتكن H مجموعة جزئية من X وغير خالية إن الشرط الالزم والكافي كي تكون H مت اربطة هو أن يتحقق اآلتي: A, B X A, B, A B =, A B =, A B = H ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا إذا كانت,A B مجموعتين جزئيتين من X غير خاليتين ومنفصلتين فإن مجموعة غير مت اربطة. A B ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا إذا كانت,A B مجموعتين جزئيتين من X غير منفصلتين ومت اربطتين فإن مجموعة مت اربطة. A B ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا ولتكن A} i } i I جماعة من المجموعات المت اربطة فيه إذا كانت هذه الجماعة تحقق: A = i I فإن اتحادها A i مجموعة مت اربطة. i, j I ; A i A j 2-3. الت اربط واالستم ارر: ,X) (τ عندئذ يكون الفضاء τ المتقط عة D ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا ولتكن {0,1} = D مزو دة بالط بولوجيا غير مت اربط إذا وفقط إذا و ج د تطبيق مستمر و غامر بالشكل: ) D f.,x) (τ,d) τ الصورة المباشرة ألية مجموعة مت اربطة وفق تطبيق مستمر مجموعة مت اربطة نتيجة: ليكن f تطبيقا مستم ار من الفضاء الط بولوجي (τ,x) على الفضاء الط بولوجي (S,Y) إذا كان الفضاء (τ,x) مت اربطا يكون الفضاء (S,Y) كذلك. 12

13 A A, B ليكن τ) (X, فضاء ط بولوجيا ولتكن مجموعتين جزئيتين من X إذا كانت مت اربطة في X تحقق: و B A B A فإن B تكون أيضا مت اربطة نتيجة: ينتج مباشرة من المبرهنة السابقة أن لصاقة مجموعة مت اربطة هي مجموعة مت اربطة أيضا وعكس ذلك غير صحيح ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا يكون هذا الفضاء مت اربطا إذا وجدت فيه مجموعة كثيفة فيه ومت اربطة الت اربط في R: مجموعة األعداد الحقيقية R مزودة بالط بولوجيا المألوفة فضاء مت اربط الشرط الالزم والكافي كي تكون مجموعة A R مت اربطة هو أن تكون مجا ل مالحظات: 1. اتحاد مجموعتين مت اربطتين في R ليس مجموعة مت اربطة بالضرورة. 2. تقاطع مجموعتين مت اربطتين في R هو مجموعة مت اربطة. 3. داخل ولصاقة )بر ر ذلك(. أية مجموعة مت اربطة في R مجموعتان مت اربطتان )مبرهنة القيم الوسطى( α, β f ليكن τ) (X, فضاء ط بولوجيا مت اربطا وليكن f X R تطبيقا مستم ار. إذا كان يأخذ القيمتين )وبفرض أن α( < β فإن ه يأخذ جميع القيم المحصورة بينهما نتيجة:.f(x) = 0 تطبيقا مستم ار بحيث < 0 f(b) f(a). عندئذ ثم ة نقطة b] x [a, بحيث ليكن f [a, b] R.5-3 مبرهنة النقطة الثابتة: theorem( )Fixed point.f(x) = x x [a, b] ليكن b] f [a, b] [a, تطبيقا مستم ار عندئذ ثم ة نقطة بحيث: )بر ر ذلك( 4-3. الت اربط في R: في R 2 الشرط الالزم والكافي لكي تكون مجموعة مفتوحة مت اربطة هو أن نتمكن من الوصل بين أية نقطتين منها بخط منكسر محتوى بأكمله في المجموعة. مالحظتان: 1. األق ارص في R 2 مجموعات مت اربطة. 2. اتحاد مجموعتين مت اربطتين في )بر ر ذلك(. R 2 ليس بالضرورة مجموعة مت اربطة وكذلك التقاطع. 13

14 5-3. المرك بات المت اربطة: )Components( تعريف: ) ( ل X عن A ليكن τ) (X, فضاء ط بولوجيا و A مجموعة جزئية من X نقول إن ها مرك بة مت اربطة ل X مركبة أو.) إذا كانت مت اربطة أعظمية ( أي ليست محتواة في أية مجموعة مت اربطة أخرى في X أي إ ن X. أكبر مجموعة جزئية مت اربطة في A أمثلة: 1. إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا مت اربطا فإن ه يمتلك مركبة مت اربطة واحدة فقط هي X. 2. إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا وكانت τ هي الط بولوجيا المتقط عة فإن كل مركبة مت اربطة في هذا الفضاء تحوي نقطة واحدة فقط إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا فإن القضايا التالية صحيحة: 1. كل نقطة من X تنتمي إلى مركبة واحدة فقط ل X. 2. كل مجموعة جزئية غير خالية ومت اربطة في X محتواة في مركبة مت اربطة واحدة فقط ل X. 3. كل مركبة ل X مجموعة مغلقة. 4. جماعة كل المركبات في (τ,x) تشكل تجزئة ل X الت اربط موضعيا )محليا ( Connectedness( )Locally x تعريف: ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا نقول عن هذا الفضاء إن ه مت اربط موضعيا ( محليا ) في نقطة منه إذا وجد لكل جوار U ل x جوا ار مت اربطا V محتوى في U. أي: x X, U v x ; V v x x V V U واذا كان الفضاء (τ,x) مت اربطا موضعيا في كل نقطة من نقاطه دعوناه مت اربطا موضعيا. ونقول عن مجموعة جزئية A من X إن ها مت اربطة موضعيا إذا كان الفضاء ) A,A) τ مت اربطا موضعيا مالحظات: مجموعة جزئية من X ومفتوحة فإن الفضاء الجزئي 1. الفضاء الط بولوجي المتقطع مت اربط موضعيا وغير مت اربط. 2. إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا مت اربطا موضعيا وكانت A ) A,A) τ يكون مت اربطا موضعيا. 3. كل مركبة مت اربطة لفضاء مت اربط موضعيا هي مجموعة مفتوحة فيه. 14

15 ليكن (τ,x) فضاء ط بولوجيا إن القضايا التالية متكافئة: 1. X مت اربطة موضعيا. 2. مركبة أي مجموعة مفتوحة في X هي مجموعة مفتوحة في X..τ 3. المركبات المت اربطة ل X تشكل قاعدة للط بولوجيا نتيجة: إذا كان (τ,x) فضاء ط بولوجيا مت اربطا موضعيا فإن ه با لستناد إلى المبرهنة السابقة كل مركبة ل X تكون مجموعة مفتوحة وبحسب المبرهنة كل مركبة ل X مغلقة وهكذا فإن كل مركبة في فضاء مت اربط موضعيا تكون مفتوحة ومغلقة في آن معا. ) أثبت صحة جميع المبرهنات والنتائج السابقة. ( استفد من اإلنترنت الم ارجع:.) محاض ارت العام الد ارسي ( للدكاترة: صالح أحمد عبد الواحد أبو حمدة محمد بشير قابيل. 2. كتاب الط بولوجيا )1( 3. كتاب مبادئ ا لط بولوجيا العامة للدكتور: خضر األحمد.. 4 كتاب مقدمة في الط بولوجيا للدكتور: غفار حسين موسى. كتب ومحاض ارت أخرى في الط بولوجيا باللغتين العربية واإلنجليزية..5 15